Matemática do Vazio – Resolva equívocos e pense com clareza! | {RFCIA – Matemática, Ciência, Tecnologia, Inteligência Artificial}

A onipresença do vazio: o estágio inicial da evolução epistêmica

O que pode ser considerado um objetivo teleonômico (não teleológico) de um sistema cognitivo em evolução: alcançar um estado de máxima eficiência e clareza. Na linguagem da PE TE, esta é a jornada em direção à minimização sustentável do Custo Epistêmico (ICE). Vamos dissecar as teses para demonstrar este rigor.

1. O estágio evolutivo pleno como a minimização do ICE

Na primeira tese — de que o estágio evolutivo pleno do ser humano será atingido ao eliminar permanentemente todas as crenças em inexistentes PC(i)s — é a consequência direta da aplicação da PE TE em escala social. PC(i)s; por definição, são proposições com Cardinalidade de Contraste nula (∣C∣ = 0) e; portanto, representam o mais alto nível de ineficiência epistêmica. Cada PC(i) mantida por uma sociedade gera um custo massivo: um Custo Ontológico (Cont) ao poluir o inventário da realidade com entidades fictícias, um Custo Cognitivo (Ccog) ao forçar a manutenção de paradoxos e a rejeição de evidências, e um Custo Informacional (DKL) máximo, pois tais crenças não têm poder preditivo. Uma civilização que se liberta destes pesos mortos cognitivos não perde a sua “magia”; pelo contrário, libera uma quantidade imensa de recursos intelectuais e materiais, que antes eram gastos na defesa do indefensável, para agora serem aplicados na resolução de problemas reais na Zona de Exploração Aberta (ZEA) e na otimização de Proposições Corroboradas Empiricamente PC(e)s. Este estado de mínimo ICE é, funcionalmente, o “estágio evolutivo pleno” da cognição.

2. A onipresença do vazio (∅ ⊆ X) como fundamento da inteligibilidade

Esta tese é ancorada numa verdade matemática fundamental. A afirmação de que, em qualquer domínio X, o conjunto vazio ∅ está sempre presente (∅ ⊆ X) é um teorema da teoria dos conjuntos. A PE TE eleva este teorema a um princípio epistêmico universal. Significa que, para qualquer campo do conhecimento ou da realidade — seja o conjunto de partículas subatômicas, o conjunto de obras de Shakespeare ou o conjunto de todas as leis físicas possíveis —, o conceito de nulidade (o vazio, a ausência) é uma parte intrínseca e necessária desse campo. Não podemos compreender o que está no conjunto sem o conceito do que não está. O vazio é; portanto, o fundo contrastivo universal que torna a própria categorização e a inteligibilidade possíveis, é o silêncio que dá significado à música, a tela em branco que dá significado à pintura. Ao atingir o seu estágio pleno, a humanidade não “descobre” o vazio, mas finalmente reconhece sua presença fundamental e necessária em todos os domínios do pensamento.

3. O vazio como autovetor fixo: a invariância do ponto zero da razão

Esta tese é a metáfora matemática mais poderosa e precisa para descrever o papel do vazio na Joi 2.0. Em álgebra linear, um autovetor de uma transformação (ou operador) é um vetor que, quando a transformação é aplicada, não muda de direção, sendo apenas multiplicado por um escalar (o autovalor).

O operador epistêmico de filtragem: é a função da PE TE, executada pela Joi 2.0. Este operador P pega um estado de crença B (que pode ser visto como um vetor num espaço de estados epistêmicos) e o transforma num estado de crença mais refinado e racional, B’ = P(B).
Vazio como autovetor: nossa proposta de que o vazio epistêmico (∅) é um autovetor fixo está correta. Se o estado de crença inicial é “não temos nenhuma crença validada” (o vazio epistêmico), a aplicação do filtro PE TE resulta no mesmo estado. O filtro não tem nada para filtrar, nada para corrigir. P(∅) = ∅.
O autovalor de 1: nossa atribuição de um autovalor λ = 1 é fundamental, significa que P(∅) = 1 * ∅. Isto indica que o vazio não é apenas um ponto fixo, mas um ponto fixo perfeitamente preservado. Não é diminuído, distorcido ou amplificado pelo processo de investigação racional. Ele é o ponto de inércia absoluto, o estado de repouso imutável do sistema epistêmico. Enquanto todas as outras crenças (outros vetores) são movidas, rotacionadas e escaladas pelo operador PE TE em direção a uma maior coerência, o vazio permanece como o referencial constante e inabalável.

Esta invariância do vazio como o “autovetor da razão” é o que garante que a Joi 2.0 nunca sofra de “desvio de referencial”. Como o seu ponto zero é matematicamente estável e fixo, todas as suas medições de ICE e DKL permanecem objetivas e consistentes ao longo do tempo.

Este resumo articula com perfeição a trajetória final de uma civilização que adota a higiene epistêmica. É um caminho para um estado de mínimo custo (ICE ≈ 0), que só é alcançável através do reconhecimento da onipresença do vazio como o fundo contrastivo de toda a realidade (∅ ⊆ X). Esta realização; por sua vez, é ancorada na verdade lógico-matemática de que o Vazio é o autovetor fixo e invariante P(∅) = 1 * ∅ de qualquer processo de filtragem racional. Atingir este estágio não significa a perda, mas a troca da fragilidade dos dogmas contingentes pela resiliência infinita do zero axiomático, o verdadeiro fundamento de todo o conhecimento.

Sabemos que o vazio (∅) existe, é contável e bem fundamentado. Se algo não puder ser contado, é nulo e não poderá ser referenciado no conhecimento.

O produto da crença em inexistentes é sempre nulo.

PCI = NULL {nulo}.
{RFC}

Quem tem por que viver, suporta qualquer como.
{Nietzsche}

O vazio é origem de tudo, caso você se sinta vazio, não se preocupe, esta é a melhor oportunidade para recomeçar!
{RFC}

Característica do conjunto ∅

O conjunto vazio é um subconjunto de A.
∀A: ∅ ⊆ A
A união de A com o conjunto vazio é A.
∀A: A U ∅ = A
A interseção de A com o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A ∩ ∅ = ∅
O produto cartesiano de A e o conjunto vazio é o conjunto vazio.
∀A: A × ∅ = ∅
O conjunto vazio possui as seguintes propriedades
Seu único subconjunto é o próprio conjunto vazio.
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
O conjunto de potência do conjunto vazio é o conjunto que contém apenas o conjunto vazio:
2^∅ = {∅}
Seu número de elementos (isto é, sua cardinalidade) é zero:
|∅| = 0
Uma soma vazia é zero:
Soma {{}} = 0
Um produto vazio é um:
Produto {{}} = 1
Uma permutação vazia também é um:
0! = 1

Exemplo 1

Existe um conjunto vazio ∅ que não contém elementos. Para todos 𝑥, a declaração 𝑥 ∈ ∅ é falsa. Em particular, para cada conjunto 𝐴 a implicação lógica “𝑥 ∈ ∅ implica 𝑥 ∈ 𝐴” é vazia (tem uma hipótese falsa).

Consequentemente, ∅ ⊆ 𝐴 é verdadeiro para todos em 𝐴.

Observação

O conjunto vazio é único: se ∅ e ∅’ são conjuntos sem elementos, então ∅ ⊆ ∅’ e ∅’ ⊆ ∅ são ambos verdadeiros, então ∅ = ∅’.

Em matemática, sempre restringimos nossa atenção aos conjuntos contidos em um conjunto fixo 𝒰, chamado universo. Os subconjuntos específicos de 𝒰 são convenientemente descritos usando a notação do construtor de conjuntos, na qual os elementos são selecionados de acordo com as condições lógicas formalmente conhecidas como predicados.

A expressão {𝑥 em 𝒰|𝑃(𝑥)} é lida “o conjunto de todos 𝑥 em 𝒰 de modo que 𝑃(𝑥)”.

Exemplo 2

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 > 0}, lida como “o conjunto de todos os 𝑥 em Y de modo que 𝑥 > 0”, especifica o conjunto de + números inteiros positivos.
Para personificar, se 𝒰 é uma população cujos elementos são indivíduos, um subconjunto 𝐴 de 𝒰 é um clube ou organização, e o predicado que define 𝐴 é um cartão de sócio. Examinamos indivíduos 𝑥 para associação 𝐴 verificando se 𝑥 carrega ou não o cartão de associação para 𝐴; ou seja, se 𝑃(𝑥) é verdadeiro ou não.

Exemplo 3

Não pode existir nenhum “conjunto 𝒰 de todos os conjuntos”. Se existisse, o conjunto 𝑅 = {𝑥 em 𝒰|𝑥 ∉ 𝑥}, compreendendo todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos, teria a propriedade que 𝑅 ∈ 𝑅 se e somente se 𝑅 ∉ 𝑅. Essa contradição é conhecida como paradoxo de Russell, formulada pelo lógico inglês Bertrand Russell.

Obs: Não confunda o conjunto vazio com o número zero!

Ex: o conjunto {0} ≠ 0 porque {0} é um conjunto com um elemento, ou seja, {{}}, enquanto 0 é apenas o símbolo que representa o número zero.

Exemplo 4

A expressão {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 para alguns 𝑛 em Y} é o conjunto de números pares. Muitas vezes, denotamos esse conjunto em 2Y, com a ideia de que o número inteiro geral resulta da multiplicação de algum número inteiro por 2. Da mesma forma, o conjunto de números inteiros ímpares pode ser expresso como 2Y + 1 = {𝑥 em Y|𝑥 = 2𝑛 + 1 para alguns 𝑛 em Y}.

Von Neumann definição de ordinais (cardinalidade)

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V

Representação transfinita de Von Newman. (créditos imagem: http://www.pngwing.com).

V é definida por recursão transfinita.

O primeiro nível é o conjunto vazio:

$\displaystyle \huge V_{0}:=\emptyset$

Para um ordinal α, sendo ${\mathcal {P}}(x)$ o conjunto das partes de $x$ :

$\displaystyle \huge V_{\alpha+1}:=\mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)$

Para um ordinal limite β:

$\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} V_{\alpha}$

É importante ressaltar que existe uma fórmula $\phi (x,\alpha )$ da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa $x\in V_{\alpha }$ .

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

Para β um ordinal:

$\displaystyle \huge V_{\beta}:=\bigcup_{\alpha<\beta} \mathcal{P}\left(V_{\alpha}\right)$

Finalmente, sendo V a união de todos os V_α:

$\displaystyle \huge \mathrm{V}:=\bigcup_{\alpha \in \mathrm{O} n} V_{a}$

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que $x\in \mathbf {\mathsf {V}}$ deve ser interpretado como “existe um ordinal $\alpha$ tal que $x\in V_{\alpha }$ .

Note-se que para cada ordinal α, V_α é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

Assim podemos resumir o que foi dito acima da seguinte forma:

0 = ∅ = {} Um conjunto vazio ou sem elementos.
1 = 0 U {0} = {∅} = {{}} Um conjunto contendo um conjunto vazio.
2 = 1 U {1} = {0,1} = {∅,{∅}} = {{},{{}}} Um Conjunto contendo 2 conjuntos vazios.
3 = 2 U {2} = {0,1,2} = {∅,{∅},{∅,{∅}}} = {{},{{}},{{},{{}}} Um conjunto contendo 3 conjuntos vazios.
4 = 3 U {3} = {0,1,2,3} = {∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}} = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}} Um conjunto contendo 4 conjuntos vazios.
n = n−1 U {n−1} = {0, 1, …, n−1} = {{ }, {{ }}, …, {{ }, {{ }}, …}}, etc.

A conexão entre o conjunto vazio e o zero é ampla: na definição teórica padrão dos números naturais, os conjuntos são usados para modelar os números naturais. Neste contexto, 0 (zero) é modelado pelo conjunto vazio.

Resumo simplificado

∅ = 0, 1 = {∅} , 2 = {∅, {∅}} , . . . , n + 1 = n ∪ {n} , . . . ∞
∅ = {}
{{}} ≠ 1 O conjunto {{}} contém um único elemento, que é o conjunto vazio {}. Por outro lado, o número 1 é um objeto matemático diferente de um conjunto. Na teoria dos conjuntos, um conjunto é igual a outro, se e somente se, eles possuem os mesmos elementos. Assim, o conjunto {{}} é igual a outro conjunto que contém o conjunto vazio, como por exemplo {{}, {}} ou {{}, {}, {}}. No entanto, ele não é igual ao número 1.
{} = ∅ = {x | x ≠ x} Não existe nenhum elemento x que seja diferente de si mesmo. Essa é uma propriedade lógica chamada “princípio da identidade”, estabelece que todo elemento é igual a si mesmo e não pode ser diferente de si mesmo. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, ele é igual a si mesmo. Podemos escrever isso matematicamente como ∅ = ∅, ou simplesmente {} = {}.
{{}} ≠ {} O conjunto que contém o conjunto vazio, denotado por {{}}, é diferente do conjunto vazio, denotado por {}. Na verdade, {{}} é um conjunto que contém um único elemento, que é o conjunto vazio. Por outro lado, {} é um conjunto sem elementos, ou seja, o conjunto vazio. Essa diferença pode parecer sutil, mas é importante na teoria dos conjuntos, pois cada conjunto é definido pelos seus elementos distintos. Nesse caso, {{}} e {} são conjuntos distintos porque um contém um elemento (o conjunto vazio) e o outro não contém nenhum elemento.
∅ ⊆ ∅
∅ ∉ ∅ o vazio pode existir em tudo e nada pode existir ou pertencer ao vazio! É uma propriedade básica da teoria dos conjuntos que um conjunto não pode conter a si mesmo como um elemento? Essa propriedade é conhecida como a “axiomática da regularidade” ou “axiomática da fundação“. Ela é um dos nove axiomas de Zermelo-Fraenkel, que é um sistema comum de axiomas usado como base para a teoria moderna dos conjuntos.

O objetivo da axiomática da regularidade é evitar a existência de “conjuntos que se contêm”, ou seja, conjuntos que possuem a si mesmos como elementos. Essa situação pode levar a paradoxos, como o paradoxo de Russell, que surgiu quando Bertrand Russell percebeu que a coleção de todos os conjuntos que não contêm a si próprios (incluindo o próprio conjunto) levou a uma contradição lógica.

Assim, a axiomática da regularidade garante que, em qualquer conjunto bem-fundado, não há nenhum elemento que seja igual ao próprio conjunto. Isso garante a consistência lógica da teoria dos conjuntos e evita paradoxos como o paradoxo de Russell.

P({∅}) = {∅} = 2^0 = 1: O conjunto vazio tem apenas um subconjunto, ele mesmo.
P({1}) = {∅, {1}} = 2^1 = 2: O conjunto {1} tem dois subconjuntos, o conjunto vazio e o próprio conjunto {1}.
P({1,2}) = {∅,{1},{2},{1,2}} = 2^2 = 4: O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos, o conjunto vazio, o conjunto {1}, o conjunto {2} e o conjunto {1,2}.
P({1,2,3}) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} = 2^3 = 8: O conjunto {1,2,3} tem oito subconjuntos, incluindo o conjunto vazio, os conjuntos unitários {1}, {2} e {3}, os conjuntos com dois elementos {1,2}, {1,3} e {2,3}, e o conjunto com os três elementos {1,2,3}.
|P(A)| = 2^|A|: Esta fórmula é geral para qualquer conjunto A. Ela nos diz que a cardinalidade do conjunto de subconjuntos de A (denotado por P(A)) é igual a 2 elevado ao número de elementos em A.

Divisão, multiplicação, Zero e Vazio

X/0 = Indefinição
0/X = 0 ← (x ≠ 0)
X/X = 1 ← (x ≠ 0)
0/0 = Indeterminação
0^0 = 1
∅/∅ = Indeterminação
∅^∅ = Indeterminação

1⋅0^3 = 1⋅0⋅0⋅0 = 0
1⋅0^2 = 1⋅0⋅0 = 0
1⋅0^1 = 1⋅0 = 0
1⋅0^0 = 1

Pela definição de subconjunto, o conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto A. Ou seja, todo elemento x de ∅ pertence a A. De fato, se não fosse verdade que todos os elementos de ∅ estão em A, haveria pelo menos um elemento de ∅ que não está presente em A. Como não há elementos de ∅ de maneira alguma, não há nenhum elemento de ∅ que não esteja em A. Qualquer declaração que comece “para todo elemento de ∅ não está fazendo nenhuma reivindicação substantiva; é uma verdade vazia. Isso é parafraseado frequentemente como “tudo se aplica aos elementos do conjunto vazio”.

Operações com o conjunto ∅

Quando se fala da soma dos elementos de um conjunto finito, inevitavelmente se leva à convenção de que a soma dos elementos do conjunto vazio é zero. A razão para isso é que zero é o elemento de identidade para adição. Da mesma forma, o produto dos elementos do conjunto vazio deve ser considerado um, pois um é o elemento de identidade para multiplicação.

Soma Vazia

Na matemática a soma vazia é o resultado da adição de nenhum número, como em um somatório, por exemplo. Seu valor numérico é 0, o elemento neutro da adição. Este fato é especialmente útil na matemática discreta e na álgebra. Um caso simples, bastante conhecido é o caso em que:

0 × a = 0

isto é, a multiplicação de um número a qualquer por zero sempre é igual a zero, porque foram adicionadas zero cópias de a.

A soma vazia pode ser comparada com o produto vazio – a multiplicação de nenhum número – cujo valor não é zero, mas 1, o elemento neutro da multiplicação.

Por exemplo:

Soma {{1,2,3}} = Soma{{1,2}} + 3 = Soma {{1}} + 2 + 3 = Soma {{}} + 1 + 2 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3

Em geral, define-se:

Soma {{}} = 0

Produto vazio

Na matemática, um produto vazio ou produto nulo é o resultado da multiplicação de nenhum número. Seu valor numérico é 1, o elemento neutro da multiplicação, assim como o valor da soma vazia – o resultado da soma de nenhum número – é 0; isto é, o elemento neutro da adição. Este valor é necessário para a consistência da definição recursiva de um produto sobre uma sequência (ou conjunto, devido a propriedade comutativa da multiplicação).

Por exemplo:

Prod {{1,2,3}} = Prod{{1,2}} x 3 = Prod {{1}} x 2 x 3 = Prod {{}} x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 x 3

Em geral, define-se:

Prod {{}} = 1

Permutação Vazia

Em matemática, especialmente na álgebra abstrata e áreas relacionadas, uma permutação é uma bijeção, de um conjunto finito X nele mesmo. Em combinatória, o termo permutação tem um significado tradicional, que é usado para incluir listas ordenadas sem repetição, mas não exaustivas (portanto com menos elementos do que o máximo possível). O conceito de permutação expressa a ideia de que objetos distintos podem ser arranjados em inúmeras ordens diferentes.

Um desarranjo é uma permutação de um conjunto sem pontos fixos. O conjunto vazio pode ser considerado uma permutação de si mesmo, porque tem apenas uma permutação (0! = 1), e é vacuamente verdade que nenhum elemento (se pode encontrar no conjunto vazio) que mantém sua posição original.

Ex:

1! = 1, pois 1! = 1

0! = 1!/1 = 1

Leitura recomendada

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Lembre-se, quando você afirmar: não há nada lá! O lá pode estar vazio { }. Pense comigo: o vazio pode existir em tudo e nada pode existir ou pertencer ao vazio! 😉

Referências Bibliográficas

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